Université de Montréal

Analyse et comparaison de protocoles de purification

de l’intrication quantique

par Antoine Schoeb

D.I.R.O.

Faculté des arts et des sciences

Mémoire présenté à la Faculté des études supérieures

en vue de l’obtention du grade de

Maître ès sciences (M.Sc.) en informatique novembre, 1999 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}Antoine Schoeb

Université de Montréal Faculté des études supérieures

Ce mémoire intitulé :

Analyse et comparaison de protocoles de purification de l’intrication quantique

présenté par :

Antoine Schoeb

a été évalué par un jury composé des personnes suivantes :

Pierre McKenzie (Président-rapporteur)

Gilles Brassard (Directeur de recherche)

Claude Crépeau (Codirecteur)

Michel Boyer (Membre du jury)

Mémoire accepté le :

Sommaire

Ce mémoire se consacre à l’étude des protocoles de purification. Ces protocoles ont été développés afin de corriger des erreurs pouvant survenir dans le monde quantique. Leur intérêt provient aussi du fait qu’ils révèlent une facette importante de la notion d’intrication quantique. Dans ce mémoire, nous allons analyser en profondeur cette facette en comparant différents protocoles de purification dont quelques-uns originaux.

Le premier chapitre a pour but de définir de façon globale l’intrication quantique. Pour ce faire, nous devons rappeler les notions de base sous-jacentes à celle-ci. On y définit entre autres les notions d’états purs, de mesures orthogonales, d’opérations unitaires et de mélanges statistiques.

Le second chapitre commence par introduire les protocoles de purification dans un contexte général. Les notions rattachées aux protocoles de purification, tel le rendement, y sont aussi définies. Le premier protocole discuté est la méthode de récurrence. Une analyse originale de ce protocole aboutit sur une condition forte afin d’optimiser son rendement. Ensuite, on présente les méthodes de purification directe et de filtrage. Nous avons trouvé de nouvelles variantes pour ces deux protocoles. La comparaison de ces méthodes est faite à l’aide de graphiques. À la fin de ce chapitre, nous présentons la méthode de hashing ainsi qu’une généralisation moins connue de celle-ci.

Le troisième chapitre discute aussi de protocoles de purification mais adaptés au modèle d’erreur des codes correcteurs quantiques. Dans ce chapitre, nous allons limiter notre étude aux protocoles de purification unidirectionnels car ceux-ci sont directements associables à des codes correcteurs quantiques. En reprenant les idées de la méthode de hashing, on a réussi à générer plusieurs codes correcteurs. Entre autres, on obtient un circuit à dix portes pour le cas le plus connu (t = 1, m = 1, n = 5). Ce circuit possède un nombre de portes plus petit que ceux retrouvés dans la littérature.

D’autres résultats ont été trouvés pour les cas (t = 1, m = 2, n = 8), (t = 1, m = 3, n = 9) et (t = 2, m = 1, n = 15). Pour ces derniers cas, aucun résultat n’a été trouvé dans la littérature.

Table des matières

Remerciements vii

1 Notions de base 1

1.1 Lois de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 États et espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Système bipartite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Opérateurs et mesures orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.4 Mélanges statistiques et matrice de densité . . . . . . . . . . . . 7 1.1.5 Evolution de l’opérateur de densité . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Introduction à l’informatique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 Portes quantiques élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Introduction à l’intrication quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1 Décomposition de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2 Intrication des états purs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.3 Intrication des mélanges statistiques . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.4 Définition formelle de l’intrication de formation . . . . . . . . . 21 1.3.5 Borne inférieure sur l’intrication de formation . . . . . . . . . . 22 1.3.6 Condition nécessaire et suffisante à l’inséparabilité . . . . . . . . 25

1.4 Téléportation quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 Protocoles de purification 30

2.1 Quelques outils de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.1 Les états de Werner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.2 Transformations unitaires utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.3 Mesures locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2 Méthode de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.1 Rendement de la méthode de récurrence . . . . . . . . . . . . . 44 2.3 Purification directe de mélanges non diagonaux dans la base de Bell . . 48 2.4 Méthode de filtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.5 Mesure généralisée avant purification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.6 Méthode de hashing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.7 Méthode de hashing généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3 Purification et codes correcteurs 74 3.1 Condition nécessaire et suffisante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.2 Exemple de code correcteur qui n’identifie pas complètement le syn-

drome d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3 Algorithmes Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.4 Résultats des recherches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.5 Nombre moyen de conflits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4 Conclusions 87

Bibliographie viii

A Rotations bilatérales aléatoires x

B Quelques propriétés de la fonction g xiii

C Comment retirer la parité xv

D Codes correcteurs explicites xvii

Liste des tableaux

2.1 Rotations unilatérales et bilatérales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Résultat de la mesure du bit amplitude de la paire cible suite au BXOR. 40

3.1 Résumé du théorème 1 pour quelques valeurs de t et m. . . . . . . . . . 82 3.2 Résultats des recherches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.3 Nombre de conflits pour les cas que nous avons explorés. . . . . . . . . 86

A.1 Ajout des changements de phase des états de Bell dans une partie du tableau 2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii

C.1 Comment mettre la parité dans le bit amplitude. . . . . . . . . . . . . . xvi

Liste des figures

2.1 Application des BXORs par Alice et Bob. . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 Comparaison des rendements de la purification de W_{F}. . . . . . . . . . 45 2.3 Comparaison des rendements de la purification de X_{F}. . . . . . . . . . 46 2.4 Rendement de la purification de Y_{F}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5 Comparaison des rendements de la méthode de récurrence et de la méthode

par purification directe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.6 Comparaison des rendements de la méthode avec POVM et de la méthode

de récurrence pour l’état ρ_{p}(\sqrt{0.1}, \sqrt{0.9}). . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.7 Circuit découvert par Shor et Smolin pour diminuer l’entropie d’un

mélange d’états de Bell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.8 Circuit proposé pour réduire l’entropie d’un mélange d’états de Bell… 73

C.1 Circuit qui calcule la parité du sous-ensemble s = 00110110. . . . . . . xvi

D.1 Code correcteur pour le cas (t = 1, m = 1, n = 5). . . . . . . . . . . . . xvii

Remerciements

Je voudrais remercier mon directeur de maîtrise Gilles Brassard pour ses nombreuses suggestions ainsi que pour ses commentaires utiles qui m’ont aidé à réaliser ce mémoire. De plus, je voudrais souligner la qualité de son enseignement, lequel a suscité mon intérêt pour le domaine de l’informatique quantique.

J’aimerais aussi remercier mon co-directeur de maîtrise Claude Crépeau pour m’avoir fait part de ses impressions suite à la lecture de ce mémoire ; plusieurs de ses conseils ont été pris en considération.

Enfin, je voudrais remercier tous les gens proches de moi qui m’ont encouragé durant ma maîtrise, soit : Kathleen Asselin, Frédéric Dubé, Sébastien Paquet, Alexandre Schoeb, Étienne Schoeb, Marie-Êve Schoeb, Michel Schoeb et Denise Vézina.

Chapitre 1

Notions de base en informatique

quantique

1.1 Lois de la mécanique quantique

La théorie de la mécanique quantique est un modèle mathématique visant à expliquer le monde réel. La validité de cette théorie est généralement admise dans la communauté scientifique. Dans cette section, nous allons exposer les grandes lignes de ce modèle.

1.1.1 États et espace de Hilbert

D’abord, il faut spécifier comment le modèle représente les états. Un état est une description complète d’un système physique. En mécanique quantique, un état est un rayon dans un espace de Hilbert^{1}. Soit H un espace de Hilbert de dimension n et soit

( α_{1} ; α_{2} ; ⋮ ; α_{n} )

un vecteur de H exprimé en termes de ses composantes selon une base orthonormée arbitraire. Suivant la notation de Dirac, ce vecteur est dénoté par un ket |ψ⟩. Le bra ⟨ψ| dénote le vecteur conjugué transposé de |ψ⟩ :

⟨ψ| = (α_{1}^{∗}, α_{2}^{∗}, …, α_{n}^{∗}),

où * représente l’opération de conjugaison complexe. La juxtaposition d’un bra et d’un ket est le produit scalaire des deux vecteurs. Ce produit envoie une paire ordonnée de vecteurs dans ℂ. Par exemple, soit :

|ϕ⟩ = ( β_{1} ; β_{2} ; ⋮ ; β_{n} )

alors

⟨ψ|ϕ⟩ = (α_{1}^{∗}, α_{2}^{∗}, …, α_{n}^{∗}) ( β_{1} ; β_{2} ; ⋮ ; β_{n} )

= ∑_{i=1}^{n} α_{i}^{∗}β_{i}.

Le produit scalaire possède les propriétés suivantes :

1. positivité : ⟨ψ|ψ⟩ est un nombre réel non négatif, 2. linéarité : ⟨ϕ|(a|ψ_{1}⟩ + b|ψ_{2}⟩) = a⟨ϕ|ψ_{1}⟩ + b⟨ϕ|ψ_{2}⟩ (a, b ∈ ℂ),

1Un espace vectoriel sur les nombres complexes ℂ.

3. symétrie : ⟨ϕ|ψ⟩ = ⟨ψ|ϕ⟩^{∗}. La norme d’un vecteur |ψ⟩ est donnée par ∥ |ψ⟩ ∥ = ⟨ψ|ψ⟩^{1/2}.

Dans un espace de Hilbert, un rayon est une classe de vecteurs qui diffèrent d’une multiplication par une constante complexe. On dénote un rayon par un représentant de sa classe qui possède une norme égale à l’unité :

⟨ψ|ψ⟩ = 1.

On note que pour tout θ réel, e^{iθ}|ψ⟩ est aussi un représentant valide de la classe. On obtient alors que |ψ⟩ et e^{iθ}|ψ⟩ décrivent le même état physique. En réalité, cette dernière affirmation a servi de justification à la définition d’état quantique ; elle ne devrait donc pas être considérée comme une conséquence de celle-ci.

1.1.2 Système bipartite

Une autre opération importante agissant dans l’espace de Hilbert est le produit tensoriel. Ce produit intervient lorsque l’on considère un système bipartite^{2}.

Supposons donc que deux systèmes quantiques A et B interagissent. Soit H_{A} et H_{B} les deux espaces de Hilbert qui servent à représenter les états de A et B respectivement. On note :

H = H_{A} ⊗ H_{B}

l’espace de Hilbert du système composé des sous-systèmes H_{A} et H_{B}. L’opération ⊗ désigne le produit tensoriel entre deux espaces. Si {|μ_{i}⟩} et {|ν_{i}⟩} sont des bases orthonormées pour H_{A} et H_{B} respectivement, alors

{|μ_{i}⟩ ⊗ |ν_{j}⟩}

est une base orthonormée pour H. En général, si u ∈ H_{A} et v ∈ H_{B}, alors u ⊗ v ∈ H. Le produit tensoriel est analogue au produit cartésien entre deux ensembles. Par exemple, le produit tensoriel de deux kets |ψ⟩ et |ϕ⟩ de H_{2} est un ket de H_{2×2} dont les composantes se calculent comme suit :

2Système composé de deux sous-systèmes.

|ψ⟩ ⊗ |ϕ⟩ = ( \begin{matrix}α_{1} \\ α_{2} \end{matrix} ) ⊗ ( \begin{matrix}β_{1} \\ β_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}α_{1}β_{1} \\ α_{1}β_{2} \\ α_{2}β_{1} \\ α_{2}β_{2} \end{matrix} ) .

Dans l’espace H = H_{A}⊗H_{B}, le produit scalaire de |v⟩ = |v_{A}⟩⊗|v_{B}⟩ et |u⟩ = |u_{A}⟩⊗|u_{B}⟩ revient à :

⟨v|u⟩ = ⟨v_{A}|u_{A}⟩⟨v_{B}|u_{B}⟩.

1.1.3 Opérateurs et mesures orthogonales

Il y a plusieurs opérations que l’on peut appliquer à un état quantique. On définit un opérateur comme une application linéaire de vecteurs à vecteurs. L’application de l’opérateur A sur le ket |ψ⟩ est dénotée par A|ψ⟩. Puisqu’il s’agit d’une application linéaire, on a que :

A(a|ϕ⟩ + b|φ⟩) = aA|ϕ⟩ + bA|φ⟩.

Dans la notation matricielle, ces opérateurs sont simplement des matrices de nombres complexes. Par exemple, le produit d’un ket et d’un bra :

|ψ⟩⟨ϕ| = ( α_{1} ; α_{2} ; ⋮ ; α_{n} ) (β_{1}^{∗}, β_{2}^{∗}, …, β_{n}^{∗})

= ( \begin{matrix}α_{1}β_{1}^{∗} & α_{1}β_{2}^{∗} & … & α_{1}β_{n}^{∗} \\ α_{2}β_{1}^{∗} & α_{2}β_{2}^{∗} & … & α_{2}β_{n}^{∗} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ α_{n}β_{1}^{∗} & α_{n}β_{2}^{∗} & … & α_{n}β_{n}^{∗} \end{matrix} )

est un opérateur qui envoie un vecteur |ξ⟩ dans |ψ⟩⟨ϕ|ξ⟩ = ⟨ϕ|ξ⟩|ψ⟩. Un cas particulier de cette classe d’opérateurs survient lorsque |ψ⟩ = |ϕ⟩ et que ∥ |ϕ⟩ ∥ = 1 ; on parle alors d’opérateurs de projection unidimensionnelle.

Les opérateurs hermitiens constituent une classe importante qui englobe les opérateurs de projection unidimensionnelle. L’opérateur A est hermitien si A = A^{†}, où † désigne l’opération composée de conjugaison et de transposition. Chaque opérateur hermitien représente un observable, i.e. une propriété d’un système physique qui peut être mesurée. Un opérateur hermitien A agissant dans un espace de Hilbert H possède une représentation spectrale ; ses vecteurs propres forment une base orthonormée de H. On peut exprimer A comme :

A = ∑_{n} a_{n}P_{n},

où les a_{n} sont les valeurs propres réelles de A et les P_{n} sont les projections orhogonales dans les sous-espaces propres associés aux a_{n}. Soit {|n_{i}⟩} une base orthonormée de l’espace propre associé à a_{n}, alors on peut écrire que P_{n} = ∑_{i} |n_{i}⟩⟨n_{i}|. (Si a_{n} est non dégénéré, P_{n} se réduit à un opérateur de projection unidimensionnelle.) Les P_{n} sont des projections orthogonales puisqu’ils satisfont :

P_{n}P_{m} = \{ \begin{matrix}P_{n} & si n = m, \\ 0 & sinon, \end{matrix}
P_{n}^{†} = P_{n},
∑_{n} P_{n} = I,

où I désigne la matrice identité de l’espace dans lequel la mesure est effectuée.

En mécanique quantique, le résultat numérique de la mesure d’un observable A est l’une de ses valeurs propres. Si l’état quantique juste avant la mesure est |ψ⟩, le résultat a_{n} est obtenu avec probabilité :

prob(a_{n}) = ∥P_{n}|ψ⟩∥^{2} = ⟨ψ|P_{n}|ψ⟩.

On note que la somme des probabilités est bien égale à 1 :

∑_{n} prob(a_{n}) = ∑_{n}⟨ψ|P_{n}|ψ⟩
= ⟨ψ|(∑_{n} P_{n})|ψ⟩
= ⟨ψ|I|ψ⟩
= ⟨ψ|ψ⟩
= 1.

À la suite de l’obtention du résultat a_{n}, l’état quantique devient :

\frac{P_{n}|ψ⟩}{(⟨ψ|P_{n}|ψ⟩)^{1/2}} .

(On note que P_{n}|ψ⟩ n’est pas normalisé, d’où le besoin d’introduire une constante de normalisation.)

En vue d’introduire les matrices de densité, il est intéressant d’exprimer la probabilité d’obtenir le résultat a_{n} sous une autre forme. Pour en arriver là, nous avons besoin d’une nouvelle définition : la trace d’un opérateur est la somme des éléments diagonaux de la matrice qui représente cet opérateur ; cette valeur est indépendante de la base dans laquelle la matrice est exprimée. Soit une base orthonormée {|μ_{i}⟩} et un opérateur B quelconque. On a que :

Tr(|ψ⟩⟨ψ|B) = ∑_{i}⟨μ_{i}|ψ⟩⟨ψ|B|μ_{i}⟩
= ∑_{i}⟨ψ|B|μ_{i}⟩⟨μ_{i}|ψ⟩
= ⟨ψ|B(∑_{i} |μ_{i}⟩⟨μ_{i}|)|ψ⟩
= ⟨ψ|B|ψ⟩ car  ∑_{i} |μ_{i}⟩⟨μ_{i}| = I.

En utilisant cette dernière équation, on obtient que :

prob(a_{n}) = ⟨ψ|P_{n}|ψ⟩
= Tr(ρP_{n}),

où ρ = |ψ⟩⟨ψ| est l’opérateur de projection sur l’état |ψ⟩. On constate donc que ρ peut servir de représentation pour l’état |ψ⟩ puisqu’il permet de rendre compte des mêmes probabilités suite à une mesure. Nous allons revenir sur ce point dans la prochaine sous-section.

Une autre classe d’opérateurs importante est celle des opérateurs unitaires. Un opérateur U est unitaire si U^{†} = U^{−1}. Un système quantique isolé sur lequel on n’effectue aucune mesure évolue, après un temps t, de façon unitaire :

|ψ(t)⟩ = U|ψ(0)⟩.

On remarque que |ψ(t)⟩ est normalisé car :

⟨ψ(t)|ψ(t)⟩ = ⟨ψ(0)|U^{†}U|ψ(0)⟩ = ⟨ψ(0)|U^{−1}U|ψ(0)⟩ = ⟨ψ(0)|ψ(0)⟩ = 1.

La nature de l’opérateur unitaire U dépend bien sûr du système quantique que l’on considère. La relation qui relie les deux, bien que fondamentale en théorie, n’est cependant pas importante dans ce que nous allons faire. Puisque toute opération unitaire peut être produite par un système physique particulier, nous avons le droit en principe d’utiliser n’importe laquelle de ces opérations unitaires dans nos protocoles quantiques. Nous n’allons pas nous soucier de l’implantation physique de chacune de ces opérations.

1.1.4 Mélanges statistiques et matrice de densité

Jusqu’à maintenant, nous avons donné une description tout à fait correcte et générale de la théorie quantique. Cependant, dans certaines circonstances, il semble que cette description soit inappropriée ou même incorrecte. Le problème est que le formalisme de la mécanique quantique est défini pour des systèmes parfaitement isolés tel l’univers entier. La plupart du temps, le système que l’on considère n’est pas isolé puisque celuici fait partie d’un système plus grand avec lequel il interagit. Dans ce cas, l’état du système sous considération n’est pas un rayon de l’espace de Hilbert et, plus important encore, l’évolution de cet état n’est pas unitaire. Notre définition d’état quantique doit donc être revisée ; à l’avenir, un rayon dans un espace de Hilbert sera appelé un état pur. Nous allons maintenant voir un autre type d’états : les mélanges statistiques.

Pour introduire les mélanges statistiques, nous avons besoin de revenir sur les systèmes bipartites. Soit donc, tel que vu dans la sous-section 1.1.2, un espace de Hilbert H = H_{A} ⊗ H_{B} avec {|μ_{i}⟩} et {|ν_{i}⟩} comme bases orthonormées pour H_{A} et H_{B} respectivement. Un état pur arbitraire de H peut s’écrire sous la forme :

|ψ⟩ = ∑_{i,j} a_{ij}|μ_{i}⟩ ⊗ |ν_{j}⟩,  (1.1)

où ∑_{ij} |a_{ij}|^{2} = 1. Soit A et B deux observables agissant sur H_{A} et H_{B} respectivement. Ces deux observables possèdent les représentations spectrales suivantes :

A = ∑_{n} a_{n}P_{n}
B = ∑_{m} b_{m}Q_{m}.

Considérons aussi C, un observable agissant sur le système global, dont l’effet est la mesure conjointe des observables A et B. On peut exprimer C comme :

C = ∑_{n,m} c_{n,m}P_{n} ⊗ Q_{m},

où c_{n,m} représente la valeur propre reliée à l’obtention des résultats a_{n} et b_{m}. Comme on a vu, si on applique l’observable C sur l’état |ψ⟩, on a que :

prob(c_{n,m}) = ⟨ψ|P_{n} ⊗ Q_{m}|ψ⟩.

Prenons maintenant la position d’un observateur du sytème de H_{A} qui ne possède aucune connaissance du système de H_{B}. Suite à la mesure de l’observable C, on observera que :

prob(a_{n}) = ∑_{m} prob(c_{n,m})
= ∑_{m}⟨ψ|P_{n} ⊗ Q_{m}|ψ⟩
= ⟨ψ|P_{n} ⊗ (∑_{m} Q_{m})|ψ⟩
= ⟨ψ|P_{n} ⊗ I|ψ⟩.

Il est rassurant de noter que cette dernière expression pour la probabilité d’obtenir le résultat a_{n} ne dépend pas de B. Cependant, elle fait encore intervenir |ψ⟩, l’état du système global. Afin de se débarrasser de cette dépendance au système global, nous devons introduire les matrices de densité réduites. Le but de ces matrices est de renfermer l’information reliée à un seul des sous-systèmes. Ainsi, pour obtenir la matrice de densité ρ_{A} reliée au sous-système H_{A}, on fait la trace partielle des degrés de liberté du sous-système H_{B} sur le système global. Cette opération se traduit comme suit :

ρ_{A} = Tr_{B}(|ψ⟩⟨ψ|)
≡ ∑_{m}⟨ν_{m}|(|ψ⟩⟨ψ|)|ν_{m}⟩.

Afin de montrer que cette définition a du sens, considérons le cas où |ψ⟩ est le simple produit tensoriel de deux états purs |μ⟩ et |ν⟩. On obtiendrait alors :

ρ_{A} = Tr_{B}(|ψ⟩⟨ψ|)
= ∑_{m}⟨ν_{m}|(|ψ⟩⟨ψ|)|ν_{m}⟩
= ∑_{m}⟨ν_{m}|(|μ⟩ ⊗ |ν⟩⟨μ| ⊗ ⟨ν|)|ν_{m}⟩
= |μ⟩(∑_{m}⟨ν_{m}|ν⟩⟨ν|ν_{m}⟩)⟨μ|
= |μ⟩(∑_{m}⟨ν|ν_{m}⟩⟨ν_{m}|ν⟩)⟨μ|
= |μ⟩⟨ν|(∑_{m} |ν_{m}⟩⟨ν_{m}|)|ν⟩⟨μ|
= |μ⟩⟨ν|ν⟩⟨μ| car  ∑_{m} |ν_{m}⟩⟨ν_{m}| = I
= |μ⟩⟨μ|,

tel qu’attendu. Dans le cas général, on obtient :

ρ_{A} = Tr_{B}(|ψ⟩⟨ψ|)
= ∑_{m}⟨ν_{m}|(|ψ⟩⟨ψ|)|ν_{m}⟩

= ∑_{m}⟨ν_{m}|(∑_{i,j} a_{ij}|μ_{i}⟩ ⊗ |ν_{j}⟩)(∑_{k,l} a_{kl}^{∗}⟨μ_{k}| ⊗ ⟨ν_{l}|)|ν_{m}⟩
= ∑_{m} ∑_{i,j} a_{ij}|μ_{i}⟩δ_{jm} ∑_{k,l} a_{kl}^{∗}⟨μ_{k}|δ_{lm}
= ∑_{i,j,k,m} a_{ij}a_{km}^{∗}|μ_{i}⟩⟨μ_{k}|δ_{jm}
= ∑_{i,j,k} a_{ij}a_{kj}^{∗}|μ_{i}⟩⟨μ_{k}|.

Maintenant, on peut vérifier facilement que prob(a_{n}) = Tr(ρ_{A}P_{n}). Il suffit de noter que :

Tr(ρ_{A}P_{n}) = Tr(∑_{i,j,k} a_{ij}a_{kj}^{∗}|μ_{i}⟩⟨μ_{k}|P_{n})
= ∑_{l}⟨μ_{l}| ∑_{i,j,k} a_{ij}a_{kj}^{∗}|μ_{i}⟩⟨μ_{k}|P_{n}|μ_{l}⟩
= ∑_{i,j,k,l} a_{ij}a_{kj}^{∗}⟨μ_{l}|μ_{i}⟩⟨μ_{k}|P_{n}|μ_{l}⟩
= ∑_{i,j,k,l} a_{ij}a_{kj}^{∗}δ_{il}⟨μ_{k}|P_{n}|μ_{l}⟩
= ∑_{i,j,k} a_{ij}a_{kj}^{∗}⟨μ_{k}|P_{n}|μ_{i}⟩,

et que :

prob(a_{n}) = ⟨ψ|(P_{n} ⊗ I_{B})|ψ⟩
= (∑_{k,l} a_{kl}^{∗}⟨μ_{k}| ⊗ ⟨ν_{l}|)(P_{n} ⊗ I_{B})(∑_{i,j} a_{ij}|μ_{i}⟩ ⊗ |ν_{j}⟩)
= ∑_{i,j,k,l} a_{kl}^{∗}a_{ij}⟨μ_{k}|P_{n}|μ_{i}⟩⟨ν_{l}|ν_{j}⟩
= ∑_{i,j,k} a_{kj}^{∗}a_{ij}⟨μ_{k}|P_{n}|μ_{i}⟩ car ⟨ν_{l}|ν_{j}⟩ = δ_{lj}
= Tr(ρ_{A}P_{n}).

Cette expression est une généralisation de celle obtenue à la section précédente pour les états purs. Dans le présent cas, ρ_{A} ne s’exprime plus nécessairement sous la forme |ϕ⟩⟨ϕ| comme dans le cas des états purs. En fait, ρ_{A} appartient à une classe d’opérateurs plus vaste que l’on appelle les opérateurs de densité. Ces opérateurs possèdent les propriétés suivantes :

1. ρ_{A} est hermitien : ρ_{A} = ρ_{A}^{†}.

2. ρ_{A} est positif :

⟨ϕ|ρ_{A}|ϕ⟩ = ⟨ϕ|(∑_{i,j,k} a_{ij}a_{kj}^{∗}|μ_{i}⟩⟨μ_{k}|)|ϕ⟩
= ∑_{j}(∑_{i} a_{ij}⟨ϕ|μ_{i}⟩)(∑_{k} a_{kj}^{∗}⟨μ_{k}|ϕ⟩)
= ∑_{j} | ∑_{i} a_{ij}⟨ϕ|μ_{i}⟩|^{2} ≥ 0 pour tout |ϕ⟩.

3. Tr(ρ_{A}) = 1 :

Tr(ρ_{A}) = ∑_{l}⟨μ_{l}|ρ_{A}|μ_{l}⟩
= ∑_{i,j,k,l} a_{ij}a_{kj}^{∗}⟨μ_{l}|μ_{i}⟩⟨μ_{k}|μ_{l}⟩
= ∑_{i,j,k,l} a_{ij}a_{kj}^{∗}δ_{li}δ_{kl}
= ∑_{j,l} a_{lj}a_{lj}^{∗}
= ∑_{j,l} |a_{lj}|^{2}
= 1.

Grâce à ces propriétés, ρ_{A} peut être diagonalisé et possède des valeurs propres réelles qui somment à un. Un exemple particulier de matrice de densité est la matrice \frac{1}{n}I_{n} qui représente un état quantique de H_{n} parfaitement aléatoire.

En résumé, lorsque l’on considère un sous-système A d’un système plus large décrit par un état pur, l’état du sous-système n’est pas représenté par un rayon, mais plutôt par un opérateur de densité ρ_{A}. En général, une matrice de densité, exprimée dans la base qui la rend diagonale, s’écrit sous la forme :

ρ_{A} = ∑_{a} p_{a}|ψ_{a}⟩⟨ψ_{a}|,

où 0 ≤ p_{a} ≤ 1 et ∑_{a} p_{a} = 1. Si l’état n’est pas pur, il y a plus d’un terme dans cette somme et on parle alors de mélange statistique. À partir de ce résultat, on peut montrer qu’une matrice de densité ρ représente un état pur si et seulement si ρ^{2} = ρ.

On voit que l’on peut donc interpréter ρ_{A} comme une collection d’états purs dans laquelle l’état |ψ_{a}⟩ intervient avec probabilité p_{a}. Dans cette collection “spectrale”, les |ψ_{a}⟩ sont orthonormés. D’autre part, il existe d’autres collections d’états purs, ceux-là pas nécessairement orthogonaux, qui peuvent aussi bien servir à préparer ρ_{A}. Chacune de ces collections représente une recette différente pour préparer ρ_{A}.

Cependant, un postulat central en mécanique quantique dit qu’il est impossible, par quelque mesure que ce soit, de savoir comment un mélange statistique a été préparé. Les matrices de densité constituent donc un bon formalisme pour représenter les mélanges statistiques ; elles permettent d’encapsuler toute l’information pertinente sur un état sans laisser d’indice sur la façon dont celui-ci a été préparé.

1.1.5 Evolution de l’opérateur de densité

Lorsqu’on considère un système bipartite AB dans lequel il n’y a pas de couplage entre les deux sous-systèmes A et B, l’opérateur d’évolution du système combiné :

U_{AB} = U_{A} ⊗ U_{B}

est décomposable en deux opérateurs d’évolution indépendants agissant sur chaque sous-système. Après l’application de cet opérateur d’évolution, l’état (1.1) devient :

|ψ′⟩ = ∑_{i,j} a_{ij}|μ′_{i}⟩ ⊗ |ν′_{j}⟩,

où

|μ′_{i}⟩ = U_{A}|μ_{i}⟩ ∀i,
|ν′_{j}⟩ = U_{B}|ν_{j}⟩ ∀j,

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